有趣的數學問題1(無解答)

有趣的數學問題
 
渡河遊戲1
＠遊戲簡介：運物：一次只能運一樣東西，點擊畫面上排中間的按鈕選擇，然後按GO！就會划到對岸；人在岸邊的時候，動物不會吃其他東西，若人到對岸，把兩種以上的東西留在另一邊，則羊會吃果子，狼會吃羊；遊戲目的是要把所有東西都運到對岸


渡河遊戲2
＠遊戲簡介：人與食人族：船上最多載兩個人，直接點要載的對象就會跳到船上了，要到對岸也是按GO！，如果任何一邊的食人族數量比人多的話，食人族就會把人吃掉，就破不了關了喔！遊戲目的也是要把所有人都運到對岸。


渡河遊戲3
＠遊戲簡介：過獨木橋：獨木橋最多只給兩個人同時過，而過橋的時候一定要拿燈，每個人過橋的速度不一樣，依序是1，3，6，8，12秒，若兩個人一起過橋，兩個人的速度會依照慢的那個人的速度；燈只能亮30秒，也就是你讓全部人過橋的時間只能在30秒內！不過你可以慢慢想沒關係，遊戲只計算人在走橋的時間，控制也是按上排按鈕就可以了。


4. 青蛙交換
在河裡並排著七顆浮出水面的石頭，其中左邊三顆石頭分別有三隻撐著荷葉的青蛙臥著，最右邊三顆石頭也有三隻青蛙臥著，他們的方向剛好相反。每隻青蛙都不想落水，而且每顆石頭只夠一隻青蛙立足。每隻青蛙的跳動只能依照下列規則進行：

1. 青蛙只能站在原地或往前跳，不允許向後跳。
2. 青蛙可以跳到前一顆石頭，或者越過前一顆石頭到達下一顆石頭。

 試問這六隻青蛙該如何跳動，才能讓手撐荷葉的三隻青蛙與其餘三隻青蛙剛好互換位置。

5. 平面上的n條直線最多可把平面分割成幾個區域呢？ 8. 一至二樓有n級樓梯，某人上樓，每次可跨1級或2級，不同上樓的方法有a_n種，則a_n之表示式為何？ 
 
 9. 現有2種不同面額的郵票：1元、2元，若想將若干張郵票由左而右貼成一排，共貼n元，則共有幾種不同的貼法？
舉例：若總共要貼3元，則方法數有3種：(a) 1, 1, 1 (b) 1, 2 (c) 2, 1。即郵票位置是有順序性的。
(1) 在這個題目中，我們可以寫出一個遞迴關係：a₁ = 1, a₂ = 2且， ；請試著解釋此遞迴關係的意義。
(2) 若總共要貼8元，則不同的貼法有幾種？
10. 某人上樓，每次可跨1級或2級，假設爬n級樓梯的方法有a_n種。
   (1) 建立a_n的遞迴關係。
(提示：將所有狀況分成兩種：(a)第一次跨1階，(b)第一次跨2階)
(2) 若n = 8的話，則上樓的方法有幾種？
11. 在使用警報器吹鳴信號時，分1秒與2秒兩種，每鳴一次間隔1秒，若鳴完最後一次正好為n秒結束，假設n秒最多可作出a_n種不同的信號   (1) 建立a_n的遞迴關係。(提示：將所有狀況分成兩種：(a)最後一次鳴1秒，(b)最後一次鳴2秒)
   (2) 若n = 15，則最多有多少種不同的信號？
12. 用2×1的長方形骨牌，來鋪出一個2×n的長方形有a_n種方法，則a_n所滿足的遞迴關係為何？
13. 用紅、白、藍三色將1×n棋盤上的方格塗色，若a_n表示沒有兩相鄰方格都塗紅色的方法數，則a_n所滿足的遞迴關係為何？
   (提示：將所有狀況分三種：(a)最後一格塗紅色，(b)最後一格塗白色，(c)最後一格塗藍色)

觀察下列3 × 3 與4 ×4 方格中的數字規律，如果在10 ×10 的方格上，仿上面規律填入數字，則所填入的100個數字之總和為       。                      [88年社會組]

				1	2	3	4
1	2	3
				1	2	3	3
1	2	2
				1	2	2	2
1	1	1
				1	1	1	1

 
3. 有一片長方形牆壁，尺寸12 × 1（即：長12單位長，寬1單位長）。若有許多白色及咖啡色壁磚，白色壁磚尺寸為2 × 1，咖啡色壁磚尺寸為4 × 1，用這些壁磚貼滿此長方形，問可貼成幾種不同的圖案？                                             [88年推甄]
4. 將自然數按下列規律排列，每一列比前一列多一個數，如下表所示：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 ……	1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 ……

試問第100列第3個數是多少？                                       [89年推甄]

5. 設數列＜a_n＞的第n項a_n為
(1)依序列出a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇的值。
(2)設k為一正整數，試說明k² – k必為偶數。
(3)設k為一正整數，試證明在數列＜a_n＞中，可以找到一個項a_m使a_m = k。[91年數乙]
6. 用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的小圈圈「。」表示焊接點，圖E – 1有兩層共4個焊接點，圖E – 2有三層共10個焊接點，圖E – 3有四層共20個焊接點。試問依此規律，推算圖E – 5有六層共多少焊接點？             [91年數乙]
 
7.    一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進3步，然後再後退2步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以1步的距離為 1單位長。令P(n)表示第n秒時機器狗所在位置的坐標，且P(0) = 0。那麼下列選項何者為真？
(1) P(3) = 3                       (2) P(5) = 1                       (3) P(10) = 2
(4) P(101) = 21                (5) P(103) < P(104)。                        [91年學測]
  
8. 若數列〈a_n〉滿足a₁ = ，a₂ =及a_n+1 = a_n ( 1 – a_n ) ( n1 )則a₁₀₁ – a₁₀₀ =         。                             [92年數乙]
 
遊戲說明
這個玩具的構造分兩個部份：
1.橘色長條狀塑膠板：板上裝有7個可旋轉的底    座，且底座上均附一個大象模型，固定在上。


2.  綠色軌道：長條塑膠板可在其中移動，一端有缺口，另一端為封閉的。

 
遊戲目標：將橘色長條塑膠板移出綠色軌道
起始狀況：


完成目標：


遊戲規則
因綠色軌道構造的關係，在移動橘色塑膠板時，大象(底座)的位置及方向會受到限制：
１.因軌道缺口處有縮減，所以大象必須轉為左右向才能離開軌道。

 2. 綠色軌道中之凹槽處，為大象旋轉的唯一位置。

遊戲策略之歸納
一、當你想旋轉第ｎ號大象時，你需要將它移至凹槽，此時其他大象的方向應該如何呢？

方法：保持第ｎ－１號大象向上，前面的ｎ－２隻大象全部向左，才能走出缺口，將凹槽空位讓給第 n 號大象。
　＊　動動腦：第ｎ號大象轉左後，會影影第ｎ－１號大象轉左嗎？
　　　　　　　那是誰才會影響第ｎ－１號大象能不能轉左？

二、該如何讓第ｎ－１號大象有空間可以旋轉？
方法：第ｎ－2號大象(左方)要先轉向上
    ＊　動動腦：第ｎ－１號大象轉左後，會影影第ｎ－２號大象轉左嗎？
　　　　　　　那是誰才會影響第ｎ－２號大象能不能轉左？
完成前 n 個大象轉出來的策略：

1. 完成前 n – 2 個大象 (讓第 n 號大象能移到凹槽)
2. 旋轉第 n 個大象
3. 回復前 n – 2 個大象 (讓第 n – 1號大象有旋轉的空間)
4. 完成前 n – 1 個大象

將轉出前ｎ個大象的最少步驟數記為An，且已知A1 = 1，A2 = 2
an = an – 2  + 1 + an – 2 + an – 1
 
Fibonacci數列
1202年，義大利數學家斐波那契出版了他的「算盤全書」。
他在書中提出了一個關於兔子繁殖的問題： 
如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔
在牠出生後的第三個月裡，又能開始生一對小兔，假定在
不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，50個月後會有
多少對兔子？
在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟
了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過
多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大
，有三對小兔子。二月底，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同一月底所有的三對，現在一共有五對了。三月底，在一月底已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同二月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。 依此類推，每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）加上前兩個月底所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。所以每個月底的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、…，每一項都是前兩項之和。現在假定十四代同堂，那麼十二個月後籠子裡應該有610對兔子了。
如此推算下去，我們便發現一個規律：  

時間(月)	初生兔子(對)	成熟兔子(對)	兔子總數(對)
1	1	0	1
2	0	1	1
3	1	1	2
4	1	2	3
5	2	3	5
6	3	5	8
7	5	8	13
8	8	13	21
9	13	21	34
10	21	34	55

 
 
 
 
 
 
 
 
由此可知，從第一個月開始以後每個月的兔子總數是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…
若把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為斐波那契數列。
數列中每個數便是前兩個數之和，而數列的最初兩個數都是1。
若設 F₀=1, F₁=1, F₂=2, F₃=3, F₄=5, F₅=8, F₆=13... 
則：當n＞1時，F_n+2 = F_n+1 + F_n，而 F₀=F₁=1。
下面是一個古怪的式子：

F_n 看似是無理數，但當 n 為非負整數時，F_n 都是整數　　
利用斐波那契數列來做出一個新的數列：
方法是把數列中相鄰的數字相除，以組成新的數列如下：

當 n 無限大時，數列的極限是：
 　　 　　
這個數值稱為黃金分割比，它正好是方程式 x²+x-1=0 的一個根
讓我們來玩一種兩個人玩的遊戲。現在有n顆石頭，誰能拿掉最後一顆石頭，誰就贏。規則是這樣的：
(1)如果甲先拿，則第一次甲不能拿掉所有的石頭。
(2)其後乙、甲輪流拿，每個人每次最多只能拿掉前一次對方拿掉石頭數目的兩倍。
在這種規則之下，如果 n 是費氏數列的某一項，則先拿的會輸，反之如果 n不是費氏數列的任何一項，則先拿的會贏。你可知道這是怎麼一回事？讓我給你一點提示：任何正整數都可以唯一地寫成費氏數列中某些項的和，而費氏數列中相鄰的兩項不能同時出現在該表示式裡。
自然界中的費氏數
        自然界中到處可見費氏數列的蹤跡。樹技上的分枝數，多數花的瓣數都是費氏數：火鶴 1、百合 3，梅花 5，桔梗常為 8，金盞花 13，…等等。費氏數列也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針，請參 考http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#pinecones 網頁上的圖；仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，而另一組常出現的數字是「5 及 8」。向日葵也是一樣，常見的螺線數目為「34 及 55」，較大的向日葵的螺線數目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及233」。這些全都是費氏數列中相鄰兩項的數值。數數看，下圖這朵向日葵的螺線數目是 多少？

 大部份雛菊的螺線數目則是「21 及 34」：
 
也有些品種雛菊的螺線數目是「13 及 21」： 

 
為什麼呢？
         植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。 
        如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。
        成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generative spiral）。
        之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。

　
        晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。 
        想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。如下圖中編號 29 的原基與編號 30 的原基之間的角度，及編號 30 與 31的原基之間的角度。

他們並且發現發散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是 ――「黃金角」。 
　
        如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖：


由此可知，圓周與大弧長度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之弳度量即為 。那麼黃金角有多大呢？經過計算：360˚ – 360˚/Φ 大約是 137.5 度。
　
        一九○七年，數學家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5 度畫一個點。結果他發現，由於這些點的排列方式特殊，因此眼睛會看到兩組互相交錯的螺線——一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘（如下圖）。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。


有關費波納西數列的TED演講
https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers?language=zh-tw#